最优控制(3)

作者:凤凰游戏 发布时间:2021-02-22 10:00

  最优控制(3)_数学_自然科学_专业资料。?4.3.1 线 有限时间时变状态调节器 ?4.3.3 无限时间定常状态调节器 ?4.3.4 有限时间时变输出调节器 ?4.3.5 无限时间定常输出调节器 ?4.3.6 有限

  ?4.3.1 线 有限时间时变状态调节器 ?4.3.3 无限时间定常状态调节器 ?4.3.4 有限时间时变输出调节器 ?4.3.5 无限时间定常输出调节器 ?4.3.6 有限时间时变输出跟踪系统 ?4.3.7 无限时间定常输出跟踪系统 4.3.1 线性二次型问题 设线性时变系统 性能指标为 (21) 其中u(t)无约束,输出误差向量 e(t)= z(t) - y(t), z(t)为理想 输出,F(t),Q(t)非负定,R(t)正定,t0, tf固定,确定最优 控制u*(t),使得性能指标极小。 在二次型性能指标中,其各项都有明确的物理含义,即 1) 末值项 ,若取 末值项的物理含义表示在控制结束后,对系统末态跟踪 误差的要求。 2) 积分项 ,若取 该项表示系统在控制过程中的动态误差跟踪的大小。 3) 积分项 ,若 则 该项表示在控制过程中所消耗的能量。 线性二次型最优控制问题的类型: (1) 状态调节器问题 如果C(t)=I, z(t)=0,则e(t)=-y(t)=-x(t), 并且性能指标为 (22) 最优控制问题为:当系统受扰动偏离原零平衡状态时, 要求产生一控制向量,使得系统状态恢复到原平衡 状态附近,并使上面的性能指标极小,称为状态调 节器问题。 (2) 输出调节器问题 如果z(t)=0,则e(t)=-y(t), 并且性能指标为 (23) 最优控制问题为:当系统受扰动偏离原输出平衡状态时, 要求产生一控制向量,使得系统输出保持在原平衡状态 附近,并使上面的性能指标极小,称为状态调节器问题。 (3) 输出跟踪系统问题 若C(t)≠I, z(t) ≠ 0,则 最优控制问题为:当理想输入作用于系统时,要求产生一 控制向量,使得系统实际输出向量始终跟踪理想输入 的变化 ,并使性能指标(21) 极小,称为输出跟踪系统 问题。 4.3.2 有限时间时变状态调节器 设线性时变系统 其中u(t)无约束,F(t),Q(t)非负定,R(t)正定,t0,tf固定,末 端状态x(tf)自由,确定最优控制u*(t)使得性能指标(22)极小. (1) 最优解得充要条件 定理 对于上述问题,其最优控制的充要条件是 (24) 最优性能指标为 (25) 其中P(t)为n×n对称非负矩阵,满足下列Riccati方程 (26) 边界条件为 P(tf) = F 将最优控制代入系统方程,可知最优轨线应满足 证明:必要性:若u*(t)为最优控制,可以证明(24)成立。 因为u*(t)是最优控制,所以满足极小值原理,构造 由极值条件可得 由正则方程可知 (27) 因为末态自由,所以横截条件为 假设 (28) 则 将系统方程代入,可得 再将(28)代入(27)可得 比较上面两个式子,可知Riccati方程成立。在(28)中,令 t=tf, 可得出 P(tf) = F。将(28)代入u*(t)可得到最优控制律的 表达式(24)成立,进而得到最优轨线x(t)。 充分性:若表达式(24)成立,可证明u*(t)比为最优控制。 ? P(t)是唯一的; ? P(t)是对称的; ? P(t)是非负的; (3) 最优控制解的存在与唯一性 4.3.3 无限时间定常状态调节器 (1) 问题的描述 设线性定常系统 其中u(t)无约束,要求确定最优控制u*(t)使得性能指标 极小. (2) 最优解的结果 定理 在上述问题中,若对于任意矩阵D,有DDT=Q,且 P 是Riccati方程 的解,则矩阵对{A,D}完全可观的充要条件是 P 为对称正 定矩阵。 定理 若矩阵对{A,B}完全可控, {A,D}完全可观,其中 DDT=Q,且D任意,则存在唯一的最优控制 最优性能指标为 其中,P 为Riccati方程 的唯一解。 (3) 最优闭环系统的渐进稳定性 定理 由上面得到的闭环系统 是渐进稳定的。 ? 对可控性的要求是防止不可控不稳定模态包含于性 能指标中,会使J→?,从而最优解不存在; ? {A,D}可观是为了保证最优闭环系统渐进稳定。系统 可控假设和F=0意味着当tf →?时,P 为正定矩阵; ? 对于无限时间调节器,一般要求tf →?时,x(tf)=0, 即稳态误差为零,因此性能指标中不必加入终态性 能指标。 解:本题中 可控性与 可观性检测 可知u*(t)存在,解Riccati方程 可得 最优解为 最后,检验闭环系统的稳定性,将最优控制代入状态方程, 通过计算可知闭环系统确实是渐进稳定的。 4.3.4 有限时间时变输出调节器 定理: 设线性时变系统方程为 性能指标为(23),其中u(t)无约束,tf固定,则存在使J=min 的唯一最优控制 最优性能指标为 最优轨线满足 P(t)满足 在边界条件上 的唯一解。 证明:将y(t)=C(t)x(t)代入性能指标中,就可以将问题化为 有限时间时变状态调节器问题,即可证得结论。 ? 有限时间时变输出调节器的最优解与有限时间时变 状态调节器的最优解具有相同的最优控制和最优性 能指标表达式,仅在Riccati方程及其边界条件的形 式上有微小差别。 ? 最优输出调节器的最优控制函数不是输出的函数, 仍是状态的现行函数,所以,构成最优控制系统需 要全部状态信息反馈。 4.3.5 无限时间定常输出调节器 定理: 设线性定常系统方程为 性能指标为 (29) u(t)无约束,若矩阵对{A,B}完全可控,{A,D}完全可观, 其中DDT=CTQC,则存在使J=min的唯一最优控制 最优性能指标为 式中 P 为对称正定矩阵,满足如下Riccati方程 最优闭环系统 渐进稳定,其解为最优轨线x*(t)。 证明:将y(t)= C(t)x(t)代入性能指标(29)可得 其中Q1=CTQC . 因为Q≥0 必有Q1 ≥0,令 Q1 =DDT , 由无限时间定常状态调节器定理可得本结论。 由已知可得


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